الرياضيات المتناهية الأمثلة

$5^{2 x} + 5^{x + 1} - 24 = 0$

خطوة 1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $5^{x + 1}$ بالصيغة $5^{x} \cdot 5^{1}$ .

$5^{2 x} + 5^{x} \cdot 5 - 24 = 0$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $5^{2 x}$ بالصيغة ${(5^{x})}^{2}$ .

${(5^{x})}^{2} + 5^{x} \cdot 5 - 24 = 0$

خطوة 1.3

لنفترض أن $u = 5^{x}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $5^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

احسِب قيمة الأُس.

$u^{2} + u \cdot 5 - 24 = 0$

خطوة 1.3.2

انقُل $5$ إلى يسار $u$ .

$u^{2} + 5 u - 24 = 0$

خطوة 1.4

حلّل $u^{2} + 5 u - 24$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 24$ ومجموعهما $5$ .

$- 3, 8$

خطوة 1.4.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(u - 3) (u + 8) = 0$

خطوة 1.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5^{x}$ .

$(5^{x} - 3) (5^{x} + 8) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$5^{x} - 3 = 0$

$5^{x} + 8 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $5^{x} - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $5^{x} - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$5^{x} - 3 = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ في $5^{x} - 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$5^{x} = 3$

خطوة 3.2.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (5^{x}) = \ln (3)$

خطوة 3.2.3

وسّع $\ln (5^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$x \ln (5) = \ln (3)$

خطوة 3.2.4

اقسِم كل حد في $x \ln (5) = \ln (3)$ على $\ln (5)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

اقسِم كل حد في $x \ln (5) = \ln (3)$ على $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

خطوة 3.2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

خطوة 3.2.4.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $5^{x} + 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $5^{x} + 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$5^{x} + 8 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $5^{x} + 8 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$5^{x} = - 8$

خطوة 4.2.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (5^{x}) = \ln (- 8)$

خطوة 4.2.3

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (- 8)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 4.2.4

لا يوجد حل لـ $5^{x} = - 8$

لا يوجد حل

خطوة 5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(5^{x} - 3) (5^{x} + 8) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

الصيغة العشرية:

$x = 0.68260619 \dots$